【質問#124】円周率=4

質問・悩み相談の回答です。

質問

円周率=4の議論が話題になりました。
中高生にこの議論の誤りを解説するのは難しそうとの意見もあったようです。私の感想としては「直感的に明らかに存在すると思われる'曲線の長さ'という概念は、実は定義を必要とする。」ということに尽きるのではないかと思われます。
円周率を円周上の分点を結ぶ折線の長さの和の上限と定義するか、もしくはπを三角関数のべき級数展開で定義し、それが円周の長さの定義と一致するか、などの細かい議論はあるのでしょうが、定義が必要な事柄を無自覚に使用することで矛盾やモヤモヤが発生しているように感じます。
というよりも「日本人がー」「最近のもんはー」などの言説もすべて定義を疎かにして議論するから空虚なのかと思われます。
withpopさま、ブログでも結構ですので快刀乱麻を断つが如く、この問題についてご感想を書いていただけると嬉しいです。

すみません、質問のつもりだったのですがモヤモヤをぶつけるだけになってしまった感があります。

回答

円周率=4の議論が話題になりました。

これは、

「円周率=4」を証明してみせましょう。“3.14…”を覆す新理論(?)に驚愕する声多数! 理数系学生「反論思いつかなくて草」

これのことですね。

私は以前、同じ論法で「短辺が1の直角二等辺三角形の長辺は√2なのを利用して√2 = 2を証明する」というネタを考えたことがあります。ブログの中を検索したら出てくるかも知れません。

それはさておき。

これが何故間違っているかを説明するならば、「そもそも近似になってない」と私は説明します。このように、縦横にしか移動しない線分からなる距離はマンハッタン距離と呼ばれますが、これは各座標の差の絶対値の総和で定義される距離です。

わかりやすいのが、昔のFFやドラクエなどの、斜め移動できないRPGでの移動距離ですね。ある街から右下にある別の街に移動するときに、「右、下、右、下…」と移動していくのと、「右、右、右…下、下、下…」と移動していくのとでは距離は同じというやつです。超雑な説明ですが、数学苦手な人でもなんとなく理解していただけると思います。

マンハッタン距離に従う線分で滑らかな線を近似することは出来ません。線分を短くしていっても距離が不変ということは、近似になってないということです。もう少し直感的に言うと、前掲の記事でのnをどんなに増やして行っても、拡大して確認すればnの数が小さい時と形は変わってませんよね?どんだけnを増やしても一致しないので、近似にはならないのです。

…というのが今回のご質問の話です。さて、それを踏まえまして。

「直感的に明らかに存在すると思われる'曲線の長さ'という概念は、実は定義を必要とする。」

そのとおりで、曲線の長さの定義は、

円周上の分点を結ぶ折線の長さの和の上限

このご説明の「円周」を「曲線」に置き換えれば、これが曲線の長さの定義になります。

このような定義になっているのは、我々が生活する上で工学的にこの長さを必要とする場面が山程ありますが、現実世界での弧の長さにこの定義が一致するからそのようになっているから、のはずです。マンハッタン距離みたいな普通のユークリッド距離でない系で定義することももちろん可能ですが、一般生活上役に立つシーンはあまりないので、普通はユークリッド距離を利用した直感的な距離定義が用いられます。ゲームのAIを作る時なんかはそんなことをやるんでしょうけどね。

というよりも「日本人がー」「最近のもんはー」などの言説もすべて定義を疎かにして議論するから空虚なのかと思われます。
withpopさま、ブログでも結構ですので快刀乱麻を断つが如く、この問題についてご感想を書いていただけると嬉しいです。

仰ることはなんとなく理解できますが、残念ながらいい例が思いつかないですね…。

たとえば最近私が思ったのは、「パワーカップル」についてのTwitter上での反応でした。

高い購買力・情報発信力…企業が熱視線 共働き高収入夫婦「パワーカップル」

この時話題の発端になったのは上記記事でした。

パワーカップルという言葉は三菱総研が作ったようで(もしかしたら誰かがいい出した言葉に定義を与えただけかも)、

夫の年収が600万円以上、妻が400万円以上で世帯年収が1千万円以上の夫婦

を指すそうです(上記記事より)。

このパワーカップルな家庭は、

同じ世帯年収1千万円以上でも、夫が1人でほとんどを稼ぐ家庭と比べると、パワーカップルの月間消費支出総額は約1・4倍も多いという。

らしく(同記事)、その消費が激しい世帯をターゲットにマーケティングを展開していく会社が増えてますよ、みたいな論が続く。

今回はこれだけの話なのに、Twitter上では

  • パワーとか言っても嫁さんが育休入ったり仕事辞めたりしたら積む不安定な家庭なんだよね
  • 子供を私立に入れたら1千万じゃ足りない。調子にのって金使い始めてダメになるのがこういう家庭
  • たかが1000万円でパワーとは日本も貧しくなったね
  • 1000万程度の家庭にマンション・家を買わそうとしてる不動産屋(デベロッパー)も落ちたもんだな

みたいな、妬みを含んだような上から目線のコメントが並ぶんですよ。
大体何かの記事がバズると、その記事の内容もほとんど読まず、なんとなく関連しそうな自分が喋りたい事をみんな大声でがなり始めるんですよね。

いや、別にそれが悪いわけではないと思うんですよ。だって、Twitterの使い方やネット記事の読み方が国家その他によって詳細に決められてるわけではないですからね。ただ、それを議論と思っている人は確実に居るんですよね。

私は思うんですが、議題を厳密に決められてない議論って、あんまり意味ないんじゃないかと。確か、Twitter社は「議論の場を提供するためにもヘイトを垂れ流すアカウントはこれからも停止していく」みたいな話をしていたはずなので、Twitter社的には一定程度議論が成り立ってると思ってるのかも知れないですけどね。もちろん、普通の雑談をしていたって何かしら有益な話が出てくることは有りますし、有る特定の分野ではTwitter内で数人の人が明確に決められた議題に対して議論を交わすときが多々あるように思います。だから全然意味がないとは言えないですが、平均するとせいぜい雑談プラスαくらいか有益さは無いと思うんですよ。ざっくり言えば。

あともう一つ、最近で気になったのが「(特にIT系の)エンジニアにはいい開発環境を与えてくれ、でないと外資に引き抜かれるぞ」みたいな議論で「あまえんな、欲しかったら自分で数字を見せて権限を持ってるヤツを説得しろ」みたいなことを言ってる人が何人かいて、いや、違うよ…そういう話じゃないよ!というのも色々書いたのですが、あまりに長くなったので別記事にしました。→ 開発マシンの人権スペックについては俺にも語らせろ

なんか中途半端で結論の無い記事になりましたが、おっしゃっていることと、その怒りはよく分かるつもりです。